수학시간

문자와 식 · 방정식

일차방정식

방정식은 미지수의 값을 찾는 식입니다. 등식의 양변에 같은 연산을 적용하여 저울의 균형을 유지하듯 식을 바꾸고, 마지막에는 구한 값이 원래 방정식을 참으로 만드는지 확인합니다.

  • 등식, 방정식, 항등식과 해의 뜻을 구별할 수 있다.
  • 등식의 성질을 이용해 일차방정식을 풀고 검산할 수 있다.
  • 문장 속 관계를 일차방정식으로 나타내어 해결할 수 있다.

등식과 방정식

등호의 양쪽과 미지수의 값에 따른 참·거짓을 살펴봅니다.

좌변 \(2x+1\)
우변 \(7\)

방정식

미지수의 값에 따라 참 또는 거짓이 되는 등식입니다.

\(x+1=3\)

\(x=2\)일 때만 참입니다.

항등식

미지수에 허용되는 어떤 값을 넣어도 항상 참인 등식입니다.

\(2(x+1)=2x+2\)

양변을 정리하면 같은 식이 됩니다.

해

방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값입니다.

\(2x=4\Rightarrow x=2\)

\(x=2\)를 원래 식에 대입하면 참이 됩니다.

등식의 성질과 이항

양변에 같은 연산을 적용하면 저울의 균형처럼 등식이 유지됩니다.

같은 수 더하기

\[ a=b\Rightarrow a+c=b+c \]

같은 수 빼기

\[ a=b\Rightarrow a-c=b-c \]

같은 수 곱하기

\[ a=b\Rightarrow ac=bc \]

같은 수로 나누기

\[ a=b\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{c} \quad(c\ne0) \]

이항은 등식의 성질을 줄여 쓴 표현입니다

실제로 한 연산

\[ \begin{aligned} x+1&=3\\ x+1-1&=3-1\\ x&=2 \end{aligned} \]

양변에서 같은 수 \(1\)을 뺐습니다.

이항으로 간단히 쓰기

\[ x+1=3\Rightarrow x=3-1 \]

항이 스스로 이동한 것이 아닙니다. 양변에 같은 연산을 한 결과를 부호가 바뀐 것처럼 간단히 나타낸 것입니다.

일차방정식과 풀이

식을 정리하여 \(ax+b=0\;(a\ne0)\) 꼴이 되는 방정식을 풉니다.

일차방정식의 뜻

모든 항을 한쪽으로 옮겨 정리했을 때 \(ax+b=0\;(a\ne0)\) 꼴이 되는 방정식입니다.

\(3x-7=8\)

\(a\ne0\) 조건

\(a=0\)이면 미지수 \(x\)가 사라져 \(0=b\) 꼴이 됩니다. 이때는 해가 없거나 모든 수가 해가 되므로 일반적인 일차방정식이 아닙니다.

복잡한 일차방정식을 푸는 순서

  1. 분수와 소수 정리
    분모의 최소공배수나 \(10,100,\dots\)을 양변에 곱해 계수를 정수로 만듭니다.
  2. 괄호 풀기
    분배법칙을 이용하고, 괄호 앞의 부호를 확인합니다.
  3. 동류항 정리와 이항
    \(x\)항은 한쪽에, 상수항은 다른 쪽에 모읍니다.
  4. \(x\)의 계수로 나누기
    \(ax=b\)에서 양변을 \(a\;(a\ne0)\)로 나눕니다.
  5. 검산
    구한 값을 원래 방정식에 대입하여 좌변과 우변이 같은지 확인합니다.

예제 1 · 소수 계수가 있는 방정식

\[ \begin{aligned} 0.2x+1&=0.4x-2\\ 2x+10&=4x-20 &&\text{(양변에 \(10\)을 곱함)}\\ 2x-4x&=-20-10\\ -2x&=-30\\ x&=15 \end{aligned} \]

예제 2 · 괄호가 있는 방정식

\[ \begin{aligned} 3(x-2)&=x+4\\ 3x-6&=x+4\\ 2x&=10\\ x&=5 \end{aligned} \]

예제 3 · 분수가 있는 방정식

\[ \begin{aligned} \frac{x-1}{3}+1&=\frac{x+5}{2}\\ 2(x-1)+6&=3(x+5)\\ 2x+4&=3x+15\\ x&=-11 \end{aligned} \]

둘째 줄은 양변에 분모의 최소공배수 \(6\)을 곱한 결과입니다.

해의 개수, 검산과 활용

정리 결과에 따라 해가 하나이거나, 없거나, 무수히 많을 수 있습니다.

해가 하나

\(ax=b\;(a\ne0)\)이면 \(x=\dfrac{b}{a}\)입니다.

\(2x=6\Rightarrow x=3\)

해가 없음

정리했을 때 거짓인 등식이 나오면 해가 없습니다.

\(2(x+1)=2x+3\Rightarrow2=3\)

해가 무수히 많음

정리했을 때 항상 참인 등식이 나오면 모든 수가 해입니다.

\(2(x+1)=2x+2\Rightarrow0=0\)

해 확인하기 · \(3(x-2)=x+4\)

\(x\)에 값을 대입하여 좌변과 우변이 같은지 확인하세요. 이 방정식의 해는 두 값이 같아지게 하는 수입니다.

값을 입력하고 확인해 보세요.

문장제를 방정식으로 해결하는 과정

문제

직사각형의 가로는 세로보다 \(3\text{ cm}\) 길고, 둘레는 \(26\text{ cm}\)입니다. 가로와 세로의 길이를 구하세요.

\[ \begin{aligned} \text{세로}&=x\\ \text{가로}&=x+3 \end{aligned} \]

방정식과 풀이

\[ \begin{aligned} 2\{x+(x+3)\}&=26\\ 4x+6&=26\\ 4x&=20\\ x&=5 \end{aligned} \]

세로는 \(5\text{ cm}\), 가로는 \(8\text{ cm}\)입니다.

문장제에서 확인할 것
  1. 미지수 정하기
    무엇을 \(x\)로 둘지 단위와 함께 정합니다.
  2. 관계식 세우기
    문장의 ‘합’, ‘차’, ‘몇 배’, ‘전체’ 관계를 등식으로 나타냅니다.
  3. 방정식 풀기
    등식의 성질을 이용하여 \(x\)를 구합니다.
  4. 문제에 맞게 답하기
    구한 값이 조건에 맞는지 확인하고 단위를 붙입니다.

읽을거리 · 오래전부터 사용한 미지수 문제

『구장산술』의 방정

중국의 고전 수학서 『구장산술』에는 수를 배열하여 미지수 문제를 푸는 ‘방정’ 장이 있습니다. 오늘날의 연립방정식과 연결되는 계산을 볼 수 있습니다.

린드 수학 파피루스의 ‘아하’

고대 이집트 문제에서는 미지량을 ‘아하’라고 부르기도 했습니다. \(x+\dfrac17x=19\)와 같은 관계를 말로 제시하고 값을 찾았습니다.

디오판토스의 나이 문제

생애의 여러 시기를 분수로 나타낸 묘비명 이야기는 문장을 하나의 방정식으로 바꾸는 대표적인 수학사 문제로 알려져 있습니다.

일차방정식 구장산술 린드 수학 파피루스

스스로 확인하기

풀이 뒤에 답을 열어 확인하고, 원래 방정식에 대입하여 검산하세요.

1. \(5x-7=18\)을 푸세요.

\(5x=25\)이므로 \(x=5\)입니다. 검산하면 \(5\cdot5-7=18\)입니다.

2. \(\dfrac{x-1}{3}+1=\dfrac{x+5}{2}\)를 푸세요.

양변에 \(6\)을 곱하면 \(2(x-1)+6=3(x+5)\)입니다. 정리하면 \(2x+4=3x+15\)이므로 \(x=-11\)입니다.

3. \(3(x+2)=3x+6\)의 해의 개수를 말하세요.

양변을 전개하면 \(3x+6=3x+6\)으로 항상 참입니다. 따라서 모든 수가 해이며 해는 무수히 많습니다.

4. \(4(x-1)=4x+3\)의 해의 개수를 말하세요.

전개하면 \(4x-4=4x+3\), 즉 \(-4=3\)이라는 거짓인 등식이 나옵니다. 따라서 해가 없습니다.

핵심 정리

  • 방정식의 해는 미지수에 대입했을 때 등식을 참으로 만드는 값입니다.
  • 이항은 항이 실제로 움직이는 것이 아니라 양변에 같은 연산을 한 결과를 줄여 쓴 것입니다.
  • 분수, 소수, 괄호를 정리한 뒤 \(x\)항과 상수항을 각각 모아 풉니다.
  • 정리 결과가 \(0=0\)이면 모든 수가 해이고, 거짓인 등식이면 해가 없습니다.
  • 구한 해는 원래 방정식에 대입하여 반드시 검산합니다.