수학시간

문자와 식 · 다항식

곱셈공식과 인수분해

곱셈공식은 여러 항의 곱을 하나의 다항식으로 전개하는 규칙이고, 인수분해는 다항식을 여러 인수의 곱으로 되돌리는 과정입니다. 두 과정의 관계를 이해하면 공식을 외우는 데서 그치지 않고 식의 구조를 읽을 수 있습니다.

  • 곱셈공식을 분배법칙과 넓이로 설명할 수 있다.
  • 다항식의 모양을 보고 알맞은 인수분해 방법을 선택할 수 있다.
  • 인수분해한 결과를 다시 전개하여 검산할 수 있다.

곱셈공식

분배법칙을 반복하여 나타나는 대표적인 전개 결과를 정리합니다.

전개 \((x+2)(x+3)\rightarrow x^2+5x+6\)
인수분해 \(x^2+5x+6\rightarrow(x+2)(x+3)\)

합의 제곱

가운데 항 \(2ab\)는 \(ab\)가 두 번 더해져 만들어집니다.

\[ \begin{aligned} (a+b)^2 &=(a+b)(a+b)\\ &=a^2+ab+ab+b^2\\ &=a^2+2ab+b^2 \end{aligned} \]

차의 제곱

가운데 항의 부호만 음수이고, 마지막 항 \(b^2\)는 양수입니다.

\[ \begin{aligned} (a-b)^2 &=(a-b)(a-b)\\ &=a^2-ab-ab+b^2\\ &=a^2-2ab+b^2 \end{aligned} \]

합과 차의 곱

가운데의 \(ab\)와 \(-ab\)가 서로 없어집니다.

\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

두 일차식의 곱

\(x\)의 계수는 두 수의 합, 상수항은 두 수의 곱입니다.

\((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)

넓이로 확인하는 \((a+b)^2\)

한 변의 길이가 \(a+b\)인 정사각형

큰 정사각형의 넓이는 \((a+b)^2\)입니다. 이를 네 부분으로 나누면 \(a^2\), \(ab\), \(ab\), \(b^2\)가 됩니다.

자주 하는 오류

\((a+b)^2\)에서 가운데의 두 직사각형 넓이를 빠뜨리면 안 됩니다.

\[ (a+b)^2\ne a^2+b^2 \] \[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]

예를 들어 \((2+3)^2=25\)이지만 \(2^2+3^2=13\)이므로 두 식은 같지 않습니다.

인수분해

다항식을 공통인수나 곱셈공식의 역을 이용하여 인수의 곱으로 나타냅니다.

인수분해 방법을 고르는 순서

  1. 공통인수부터 찾기
    모든 항에 공통으로 들어 있는 수와 문자를 먼저 묶습니다.
  2. 항의 개수와 모양 보기
    두 항이면 제곱의 차인지, 세 항이면 완전제곱식인지 살펴봅니다.
  3. 합과 곱을 만족하는 수 찾기
    \(x^2+px+q\)에서는 합이 \(p\), 곱이 \(q\)인 두 수를 찾습니다.
  4. 다시 전개하여 검산하기
    인수분해 결과를 전개했을 때 원래 식과 같아야 합니다.

공통인수

모든 항에 공통으로 곱해진 인수를 묶습니다.

\[ \begin{aligned} 6x^2+9x&=3x(2x+3) \end{aligned} \]

완전제곱식

첫째 항과 셋째 항이 제곱이고 가운데 항을 확인합니다.

\[ \begin{aligned} a^2+2ab+b^2&=(a+b)^2 \end{aligned} \]

제곱의 차

두 제곱식의 차는 합과 차의 곱으로 분해됩니다.

\[ \begin{aligned} a^2-b^2&=(a+b)(a-b) \end{aligned} \]

합과 곱

합이 \(p\), 곱이 \(q\)인 두 수를 찾습니다.

\[ \begin{aligned} x^2+px+q&=(x+a)(x+b) \end{aligned} \]

예제 1 · 공통인수와 공식은 함께 사용할 수 있습니다

\[ \begin{aligned} 3x^3-12x &=3x(x^2-4)\\ &=3x(x+2)(x-2) \end{aligned} \]

먼저 공통인수 \(3x\)를 묶고, 괄호 안의 \(x^2-4\)에 제곱의 차 공식을 적용했습니다.

예제 2 · \(x^2+px+q\) 꼴

\(x^2+5x+6\)에서 합이 \(5\), 곱이 \(6\)인 두 수는 \(2,3\)입니다.

\[ x^2+5x+6=(x+2)(x+3) \]

예제 3 · \(x^2\)의 계수가 \(1\)이 아닐 때

\(2x^2+7x+3\)에서 \(2\times3=6\)이고 합이 \(7\)인 두 수 \(6,1\)로 가운데 항을 나눕니다.

\[ \begin{aligned} 2x^2+7x+3 &=2x^2+6x+x+3\\ &=2x(x+3)+(x+3)\\ &=(2x+1)(x+3) \end{aligned} \]

곱셈공식과 인수분해의 활용

식의 구조를 알아보면 복잡해 보이는 계산을 짧게 바꿀 수 있습니다.

곱셈공식으로 빠르게 계산하기

\(103\times97\)은 \(100\)에서 같은 만큼 떨어진 두 수의 곱입니다.

\[ \begin{aligned} 103\times97 &=(100+3)(100-3)\\ &=100^2-3^2\\ &=9991 \end{aligned} \]

넓이의 차를 인수분해하기

한 변이 \(a\)인 정사각형에서 한 변이 \(b\)인 정사각형을 뺀 넓이는 다음과 같습니다.

\[ a^2-b^2=(a+b)(a-b) \]

제곱의 차 공식은 도형의 넓이를 다른 모양으로 재배치한 결과로도 해석할 수 있습니다.

고등학교 연계 · 분모의 유리화

분모에 세 항이 있으면 두 항을 하나로 묶어 먼저 합과 차의 곱을 만들 수 있습니다. \((1+\sqrt{2})+\sqrt{3}\)에서 \(\sqrt{3}\)의 부호를 바꾼 식을 곱한 뒤, 남은 \(\sqrt{2}\)를 한 번 더 유리화합니다.

\[ \begin{aligned} \frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} &= \frac{1}{(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}} \times \frac{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}} {(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}}\\[4pt] &= \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}} {(1+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}\\[4pt] &= \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\\[4pt] &= \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\[4pt] &= \frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} \end{aligned} \]

알지브라 타일로 인수분해하기

다항식의 넓이 타일을 직사각형으로 배열하여 두 변의 길이를 찾습니다.

타일 탐구 · \(x^2+(a+b)x+ab\)

이 활동은 계수가 양수인 경우를 다룹니다. 타일을 드래그하고, \(x\) 타일을 짧게 누르면 방향을 바꿀 수 있습니다. 빈틈없는 직사각형이 되도록 배열한 뒤 두 변의 길이를 확인하세요.

문제: \(x^2+5x+6\)
\(x^2\) 타일 \(x\) 타일 \(1\) 타일

스스로 확인하기

식을 전개하거나 인수분해한 뒤 답을 열어 확인하세요.

1. \((2x+3)^2\)을 전개하세요.

\((2x+3)^2=(2x)^2+2\cdot2x\cdot3+3^2=4x^2+12x+9\)

2. \(9x^2-25\)를 인수분해하세요.

\(9x^2-25=(3x)^2-5^2=(3x+5)(3x-5)\)

3. \(x^2-x-12\)를 인수분해하세요.

합이 \(-1\), 곱이 \(-12\)인 두 수는 \(3,-4\)이므로 \(x^2-x-12=(x+3)(x-4)\)입니다.

4. \(4x^3-16x\)를 끝까지 인수분해하세요.

\(4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x+2)(x-2)\)입니다.

핵심 정리

  • 곱셈공식은 분배법칙을 간단히 정리한 것이며, 인수분해는 그 역과정입니다.
  • 인수분해에서는 공통인수를 가장 먼저 확인합니다.
  • 완전제곱식, 제곱의 차, 합과 곱의 구조를 구별하여 알맞은 공식을 선택합니다.
  • 인수분해한 식을 다시 전개하면 정답을 검산할 수 있습니다.