수학시간

문자와 식 · 다항식

다항식의 계산

여러 항으로 이루어진 다항식은 같은 종류의 항을 정확히 구별하고, 분배법칙을 항마다 적용하여 계산합니다. 부호와 차수를 확인하며 계산 과정을 차례대로 정리해 봅시다.

  • 동류항을 찾아 다항식의 덧셈과 뺄셈을 계산할 수 있다.
  • 단항식과 다항식의 곱셈·나눗셈을 계산할 수 있다.
  • 등식을 한 문자에 관하여 나타내고 식에 대입할 수 있다.

다항식의 덧셈과 뺄셈

각 항의 부호를 확인한 뒤 동류항의 계수끼리 계산합니다.

먼저 차수에 따라 정리하면 계산이 선명해집니다

한 문자에 대한 다항식은 보통 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서로 씁니다. 예를 들어 \(3-2x^2+5x\)는 \(-2x^2+5x+3\)으로 정리합니다.

이차항\(-2x^2\)
일차항\(5x\)
상수항\(3\)
차수\(2\)

다항식의 덧셈

괄호를 풀고 같은 차수의 항끼리 모읍니다.

\[ \begin{aligned} &(3x^2+2x-1)+(x^2-5x+4)\\ &=3x^2+2x-1+x^2-5x+4\\ &=(3x^2+x^2)+(2x-5x)+(-1+4)\\ &=4x^2-3x+3 \end{aligned} \]

다항식의 뺄셈

빼는 다항식의 모든 항의 부호를 바꾸어 더합니다.

\[ \begin{aligned} &(3x^2+2x-1)-(x^2-5x+4)\\ &=3x^2+2x-1-x^2+5x-4\\ &=(3x^2-x^2)+(2x+5x)+(-1-4)\\ &=2x^2+7x-5 \end{aligned} \]

동류항을 세로로 맞추어 보기

같은 차수의 항을 같은 열에 놓으면 빠뜨리는 항을 줄일 수 있습니다. 없는 항의 계수는 \(0\)으로 생각합니다.

\((2x^2-x+3)+(x^2+4)\)의 계수 정리
다항식 \(x^2\)항 \(x\)항 상수항
\(2x^2-x+3\) \(2\)\(-1\)\(3\)
\(x^2+4\) \(1\)\(0\)\(4\)
합 \(3\)\(-1\)\(7\)
따라서 \((2x^2-x+3)+(x^2+4)=3x^2-x+7\)입니다.

단항식과 다항식의 곱셈

분배법칙을 이용하여 단항식을 다항식의 모든 항에 각각 곱합니다.

분배법칙으로 전개하기

\[A(B+C)=AB+AC\]

곱의 꼴을 하나의 다항식으로 나타내는 과정을 전개라고 합니다.

1단계 · 부호 확인

괄호 밖 단항식의 부호와 괄호 안 각 항의 부호를 확인합니다.

\(-2x(x^2-3x+4)\)

2단계 · 모든 항에 곱하기

단항식을 괄호 안의 세 항에 빠짐없이 곱합니다.

\[ \begin{aligned} &(-2x)\cdot x^2\\ &+(-2x)\cdot(-3x)\\ &+(-2x)\cdot4 \end{aligned} \]

3단계 · 지수법칙 적용

계수와 문자 부분을 각각 계산하여 내림차순으로 정리합니다.

\(-2x^3+6x^2-8x\)

예제 · 음수인 단항식을 곱할 때

\[ \begin{aligned} -2x(x^2-3x+4) &=(-2x)\cdot x^2+(-2x)\cdot(-3x)+(-2x)\cdot4\\ &=-2x^3+6x^2-8x \end{aligned} \]

바른 계산

\[3a(2a-b)=6a^2-3ab\]

\(3a\)를 \(2a\)와 \(-b\)에 각각 곱했습니다.

자주 하는 오류

\[3a(2a-b)\ne6a^2-b\]

괄호 안의 둘째 항에도 \(3a\)를 곱해야 합니다.

다항식과 단항식의 나눗셈

다항식의 각 항을 같은 단항식으로 나눕니다. 나누는 식은 \(0\)이 아니어야 합니다.

방법 1 · 각 항을 따로 나누기

\[ \begin{aligned} &(12x^3-8x^2+4x)\div4x\\[4pt] &=\frac{12x^3}{4x}-\frac{8x^2}{4x}+\frac{4x}{4x}\\[4pt] &=3x^2-2x+1 \end{aligned} \]

방법 2 · 역수를 곱하기

\[ \begin{aligned} &(12x^3-8x^2+4x)\div4x\\[4pt] &=(12x^3-8x^2+4x)\times\frac{1}{4x}\\[4pt] &=3x^2-2x+1 \end{aligned} \]

예제 · 음수인 단항식으로 나누기

\[ \begin{aligned} &(6a^3-9a^2+3a)\div(-3a)\\[4pt] &=\frac{6a^3}{-3a}-\frac{9a^2}{-3a}+\frac{3a}{-3a}\\[4pt] &=-2a^2+3a-1 \end{aligned} \]

등식의 변형

등식의 성질을 이용하여 필요한 문자가 홀로 남도록 식을 정리합니다.

한 문자에 관하여 푼다

등식에서 특정 문자를 한쪽 변에 홀로 나타내는 것을 그 문자에 관하여 푼다고 합니다. 양변에 같은 수나 식을 더하고 빼거나, \(0\)이 아닌 같은 수나 식을 곱하고 나누어도 등식은 성립합니다.

  • 1
    목표 문자가 있는 항을 한쪽으로 모읍니다.
  • 2
    목표 문자를 묶어 계수를 확인합니다.
  • 3
    계수로 나누어 목표 문자를 홀로 남깁니다.

한 문자에 관하여 풀기

\(2x+3y=12\)를 \(y\)에 관하여 풀어 봅시다.

\[ \begin{aligned} 2x+3y&=12\\ 3y&=12-2x\\ y&=\frac{12-2x}{3} \end{aligned} \]

대입하여 식 바꾸기

\(y=x+1\)일 때 \(2y-3\)을 \(x\)의 식으로 나타냅니다.

\[ \begin{aligned} 2y-3&=2(x+1)-3\\ &=2x+2-3\\ &=2x-1 \end{aligned} \]

왜 공식을 한 문자에 관하여 풀까요?

거리 \(S\), 속력 \(v\), 시간 \(t\) 사이의 관계 \(S=vt\)는 구하려는 양에 따라 \(v=\dfrac{S}{t}\) 또는 \(t=\dfrac{S}{v}\)로 바꾸어 사용할 수 있습니다. 등식의 변형은 새로운 공식을 외우는 일이 아니라 하나의 관계를 필요한 형태로 다시 쓰는 과정입니다. 이때 나눗셈을 사용하므로 \(t\ne0\), \(v\ne0\)과 같은 조건도 함께 확인해야 합니다.

스스로 확인하기

답을 펼치기 전에 부호, 동류항, 분배법칙을 순서대로 확인해 보세요.

1. \((2x^2-3x+5)+(x^2+4x-2)\)를 간단히 하세요.
\[ \begin{aligned} &(2x^2-3x+5)+(x^2+4x-2)\\ &=3x^2+x+3 \end{aligned} \]
2. \((4a^2-a+3)-(2a^2+5a-1)\)을 간단히 하세요.
\[ \begin{aligned} &(4a^2-a+3)-(2a^2+5a-1)\\ &=4a^2-a+3-2a^2-5a+1\\ &=2a^2-6a+4 \end{aligned} \]
3. \(-3x(2x^2-x+4)\)를 전개하세요.

\(-6x^3+3x^2-12x\)입니다.

4. \(A=\dfrac{1}{2}bh\)를 \(h\)에 관하여 푸세요.
\[ \begin{aligned} A&=\frac12 bh\\ 2A&=bh\\ h&=\frac{2A}{b}\quad(b\ne0) \end{aligned} \]

핵심 정리

  • 다항식의 덧셈과 뺄셈은 동류항의 계수끼리 계산합니다.
  • 괄호 앞의 부호와 수는 괄호 안의 모든 항에 적용합니다.
  • 다항식을 단항식으로 나눌 때는 각 항을 그 단항식으로 나눕니다.
  • 등식을 변형할 때 나눗셈을 사용하면 나누는 식이 \(0\)이 아닌지 확인합니다.