수학시간

문자와 식 · 단항식

단항식의 계산

같은 문자가 반복해서 곱해지는 규칙을 지수로 나타내고, 계수와 문자 부분을 나누어 계산하면 복잡해 보이는 단항식도 간단히 정리할 수 있습니다.

  • 지수법칙이 성립하는 까닭을 설명할 수 있다.
  • 단항식의 곱셈과 나눗셈을 계산할 수 있다.
  • 곱셈과 나눗셈이 섞인 식을 순서에 맞게 정리할 수 있다.

지수법칙

거듭제곱을 반복되는 곱셈으로 풀어 보면 지수의 계산 규칙을 이해할 수 있습니다.

1. 같은 밑의 곱

밑이 같은 거듭제곱을 곱하면 지수를 더합니다.

\[ a^m\times a^n=a^{m+n} \]

\(a\)가 \(m\)번, 다시 \(n\)번 곱해지므로 모두 \(m+n\)번 곱해집니다.

2. 거듭제곱의 거듭제곱

거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 지수를 곱합니다.

\[ (a^m)^n=a^{mn} \]

\(a^m\)이 \(n\)번 곱해지므로 \(a\)는 모두 \(m\times n\)번 곱해집니다.

3. 같은 밑의 몫

같은 인수를 약분하면 남는 개수만큼 지수가 줄어듭니다.

\[ \begin{aligned} a^m\div a^n&=a^{m-n} &&(m>n)\\ a^m\div a^m&=1 \end{aligned} \]

\(m<n\)이면 분모에 \(a\)가 \(n-m\)개 남으므로 \(\dfrac{1}{a^{n-m}}\)입니다.

4. 곱과 몫의 거듭제곱

괄호 안의 각 인수에 같은 지수를 적용합니다.

\[ \begin{aligned} (ab)^m&=a^mb^m\\ \left(\frac{a}{b}\right)^m&=\frac{a^m}{b^m}\quad(b\ne0) \end{aligned} \]

같은 밑의 나눗셈을 세 경우로 나누어 보기

\[ \begin{aligned} 2^5\div2^3&=\frac{2^5}{2^3}=2^2 &&(5>3)\\[3pt] 2^3\div2^3&=\frac{2^3}{2^3}=1 &&(3=3)\\[3pt] 2^3\div2^5&=\frac{2^3}{2^5}=\frac{1}{2^2} &&(3<5) \end{aligned} \]

단항식의 곱셈과 나눗셈

계수는 계수끼리, 문자 부분은 문자 부분끼리 나누어 계산합니다.

부호

양수와 음수의 곱셈·나눗셈 규칙을 먼저 적용합니다.

\((-)\times(-)=(+)\), \((-)\times(+)=(-)\)

계수

문자 앞에 있는 수끼리 곱하거나 나눕니다.

\(6\div(-3)=-2\)

문자 부분

같은 문자끼리 지수법칙을 적용합니다.

\(x^3\times x^2=x^5\)

단항식의 곱셈

예제 · \((-3a^2b)\times(4ab^3)\)

\[ \begin{aligned} (-3a^2b)\times(4ab^3) &=(-3\times4)(a^2\times a)(b\times b^3)\\ &=-12a^3b^4 \end{aligned} \]

단항식의 나눗셈

방법 1 · 분수 꼴로 고치기

나누는 식을 분모에 놓고 계수와 문자 부분을 약분합니다.

\[ \begin{aligned} 12a^3b^2\div3a^2b &=\frac{12a^3b^2}{3a^2b}\\ &=4ab \end{aligned} \]

방법 2 · 역수의 곱셈으로 고치기

나누는 단항식의 역수를 곱한 뒤 곱셈으로 계산합니다.

\[ \begin{aligned} 12a^3b^2\div3a^2b &=12a^3b^2\times\frac{1}{3a^2b}\\ &=4ab \end{aligned} \]

곱셈과 나눗셈의 혼합 계산

거듭제곱을 먼저 계산한 뒤 나눗셈을 곱셈으로 바꾸면 실수를 줄일 수 있습니다.

  1. 거듭제곱 계산 괄호가 있는 거듭제곱을 먼저 정리합니다.
  2. 곱셈으로 통일 나눗셈은 역수의 곱셈으로 바꿉니다.
  3. 종류별 계산 부호, 계수, 같은 문자 순서로 계산합니다.

예제 · \(6xy\times(2xy)^2\div8xy^2\)

\[ \begin{aligned} 6xy\times(2xy)^2\div8xy^2 &=6xy\times4x^2y^2\div8xy^2\\ &=6xy\times4x^2y^2\times\frac{1}{8xy^2}\\ &=\frac{24x^3y^3}{8xy^2}\\ &=3x^2y \end{aligned} \]

생활 속의 지수법칙

저장 용량과 천문 거리에서 거듭제곱이 큰 수를 간단히 표현하는 방법을 확인합니다.

탐구 1 · 저장 용량으로 보는 10의 거듭제곱

저장 용량의 단위는 한 단계 커질 때마다 보통 이전 단위의 천 배가 됩니다. 익숙한 ‘MB’와 ‘GB’에서 시작하여 데이터센터처럼 많은 저장 장치를 모았을 때 사용하는 ‘PB’와 ‘EB’까지 지수의 규칙으로 연결해 봅시다.

kB\(10^3\text{ B}\)
MB\(10^6\text{ B}\)
GB\(10^9\text{ B}\)
TB\(10^{12}\text{ B}\)
PB\(10^{15}\text{ B}\)
EB\(10^{18}\text{ B}\)

오른쪽으로 한 칸 이동하면 \(10^3=1000\)배, 왼쪽으로 한 칸 이동하면 \(10^{-3}=\dfrac{1}{1000}\)배입니다.

여러 저장 장치를 모으면 단위가 커집니다

데이터센터의 전체 용량을 생각할 때는 한 장치의 용량을 장치 수만큼 더하는 대신 곱셈으로 나타낼 수 있습니다. 다음은 단위의 크기를 이해하기 위한 단순한 수학적 예입니다.

TB에서 PB로
\[ 4\text{ TB}\times250 =1000\text{ TB} =1\text{ PB} \]
PB에서 EB로
\[ 2\text{ PB}\times500 =1000\text{ PB} =1\text{ EB} \]

더 큰 단위인 \(1\text{ ZB}=10^{21}\text{ B}=1000\text{ EB}\)도 같은 규칙으로 이어집니다.

용량 단위 변환기

값과 단위를 선택하면 바이트 수와 다른 10진수 단위의 값을 지수의 차를 이용해 계산합니다.

용량과 단위를 선택한 뒤 변환하기를 누르세요.

탐구 2 · 빛이 태양에서 행성까지 가는 시간

행성의 태양으로부터 평균 거리를 \(3\times10^5\text{ km/s}\)로 나누어 빛의 이동 시간을 어림해 보세요.

행성을 선택하고 계산하기를 누르세요.

실제 행성의 거리는 공전 위치에 따라 달라집니다. 이 계산은 태양으로부터의 평균 거리를 사용한 어림입니다.

SI 접두어 천문단위

스스로 확인하기

풀이를 먼저 해 본 뒤 정답을 펼쳐 확인하세요.

1. \(a^4\times a^3\)을 간단히 하세요.

\(a^4\times a^3=a^{4+3}=a^7\)

2. \((-2x^2y)\times(3xy^3)\)을 계산하세요.

\((-2\times3)x^{2+1}y^{1+3}=-6x^3y^4\)

3. \(18a^4b^3\div(-6a^2b)\)를 계산하세요.

\(18a^4b^3\div(-6a^2b)=-3a^2b^2\)

4. \(4xy\times(-3x^2y)^2\div6xy^2\)를 계산하세요.

\[ \begin{aligned} 4xy\times(-3x^2y)^2\div6xy^2 &=4xy\times9x^4y^2\div6xy^2\\ &=6x^4y \end{aligned} \]

더 생각해 보기 · 왜 \(a^0=1\)이라고 정할까?

나눗셈으로 살펴보기

\(a\ne0\)일 때 \(a^3\div a^3=1\)입니다. 지수의 차를 이용하면 \(a^{3-3}=a^0\)이므로 지수법칙을 자연스럽게 이어 가기 위해 \(a^0=1\)로 정합니다.

음의 지수로 확장하기

같은 원리로 \(a^2\div a^5=\dfrac{1}{a^3}\)을 \(a^{2-5}=a^{-3}\)으로 나타내면 \(a^{-3}=\dfrac{1}{a^3}\)이 됩니다. 이는 고등학교에서 정식으로 다룹니다.