수학시간

Ⅱ. 문자와 식 · 중학교 1학년

문자와 식

문자는 아직 정해지지 않은 수나 여러 수를 한꺼번에 나타냅니다. 문장 속 수량 관계를 식으로 바꾸고, 수학에서 정한 곱셈·나눗셈의 표기 약속과 대입 방법을 익혀 봅시다.

  • 관계 표현문장을 문자와 식으로 나타낼 수 있습니다.
  • 표기 약속곱셈과 나눗셈 기호를 생략하여 나타낼 수 있습니다.
  • 대입과 계산문자에 수를 대입하여 식의 값을 구할 수 있습니다.

문자를 사용하여 수량 관계 나타내기

같은 관계를 여러 경우에 공통으로 나타내는 것이 문자의 힘입니다.

문자는 수를 대신하는 기호

문자 \(x, y, a, b, \dots\)를 사용하면 값이 아직 정해지지 않았거나 값이 달라지는 수량도 하나의 식으로 나타낼 수 있습니다. 예를 들어 사탕 한 개의 가격이 100원이고 사탕을 \(x\)개 산다면 총 가격은 \(100x\)원입니다.

한 개의 가격 100원
사탕의 수 \(x\)개
총 가격 \(100x\)원

문장을 식으로 바꾸기

  • 어떤 수 \(x\)보다 3 큰 수 \(x+3\)
  • \(a\)의 2배에서 5를 뺀 수 \(2a-5\)
  • 한 변이 \(x\)인 정사각형의 둘레 \(4x\)

식을 문장으로 읽기

  • \(3x\) \(x\)의 3배
  • \(x-7\) \(x\)보다 7 작은 수
  • \(\dfrac{x}{5}\) \(x\)를 5로 나눈 수

곱셈 기호의 생략

곱셈 기호를 생략하더라도 곱셈이라는 뜻이 분명하도록 정해진 순서로 씁니다.

① 수는 문자 앞에 씁니다
\(x\times 2\)→\(2x\)
\(a\times 3\)→\(3a\)
② 1과 −1의 1은 생략합니다
\(1\times x\)→\(x\)
\((-1)\times a\)→\(-a\)

\(0.1x\)의 1은 소수의 일부이므로 생략하지 않습니다.

③ 문자는 보통 알파벳 순서로 씁니다
\(y\times x\)→\(xy\)
\(c\times a\times b\)→\(abc\)
④ 같은 문자의 곱은 거듭제곱으로 씁니다
\(x\times x\times x\)→\(x^3\)
\(a\times a\times b\)→\(a^2b\)
⑤ 수와 괄호의 곱도 기호를 생략합니다
\((x+y)\times 3\)→\(3(x+y)\)
\((-2)\times(a-b)\)→\(-2(a-b)\)
⑥ 수와 문자가 섞인 곱을 정돈합니다
\(x\times 2\times y\)→\(2xy\)
\((-3)\times a\times a\)→\(-3a^2\)
대분수는 먼저 가분수로 고칩니다
  • \(1\dfrac{1}{2}\times x=\dfrac{3}{2}x\)
  • \(0.1\times a=0.1a\)이며, \(0.a\)처럼 쓰지 않습니다.

나눗셈 기호의 생략

나눗셈은 분수의 꼴로 나타내면 무엇을 무엇으로 나누는지 분명해집니다.

분수의 꼴로 나타내기

나눗셈 기호 \(\div\)를 생략할 때에는 나누어지는 식을 분자에, 나누는 식을 분모에 씁니다.

\[ a\div b=\frac{a}{b}\qquad (b\ne 0) \]
부호는 분수 앞에 모아 쓸 수 있습니다
\[ \frac{-a}{2}=\frac{a}{-2}=-\frac{a}{2} \]
괄호의 유무에 따라 식이 달라집니다
\[ x\div y\times z=\frac{xz}{y} \] \[ x\div(yz)=\frac{x}{yz} \]
곱셈과 나눗셈은 같은 우선순위입니다 괄호가 없으면 왼쪽부터 계산합니다. 따라서 \(x\div y\times z\)를 \(x\div(yz)\)로 바꾸면 원래 식과 다른 식이 됩니다.

문자에 수를 대입하여 식의 값 구하기

문자를 수로 바꾸어 넣고, 계산 순서에 따라 계산합니다.

대입과 식의 값

대입은 문자 대신 수를 넣는 것이고, 식의 값은 대입한 뒤 계산한 결과입니다.

\[ \begin{aligned} &x=2\text{를 }3x+5\text{에 대입하면}\\[3pt] &3x+5=3\times 2+5=11 \end{aligned} \]

대입 연산 시뮬레이터

식 \(3x+5\)에서 \(x\)의 값을 바꾸어 식의 값이 어떻게 달라지는지 확인하세요.

입력 x = 2
대입하여 계산 3 × 2 + 5
식의 값 11
음수를 대입할 때는 괄호를 사용합니다. \(x=-3\)일 때 \(x^2=(-3)^2=9\)입니다. \(-3^2\)는 \(-(3^2)\)를 뜻하므로 값이 \(-9\)입니다.

스스로 확인하기

문제를 먼저 해결한 뒤 정답을 펼쳐 확인하세요.

문제 1. 한 권에 \(a\)원인 공책 4권의 가격을 식으로 나타내세요.

정답: \(4a\)원

한 권의 가격 \(a\)원에 공책 수 4를 곱하고, 수를 문자 앞에 씁니다.

문제 2. \(a\times(-1)\times b\times a\)를 곱셈 기호를 생략하여 나타내세요.

정답: \(-a^2b\)

\(-1\)의 1은 생략하고, 같은 문자 \(a\)의 곱을 \(a^2\)으로 나타냅니다.

문제 3. \(x=-2\)일 때 \(4x-3\)의 값을 구하세요.

정답: \(-11\)

\(4x-3=4\times(-2)-3=-8-3=-11\)입니다.

읽을거리: 수학의 기호와 문법

문자의 도입은 계산 방법뿐 아니라 수학적 사고의 범위를 넓혔습니다.

문자 사용의 역사

초기의 대수 문제는 대부분 문장으로 길게 표현되었습니다. 디오판토스는 미지수와 계산을 줄여 쓰는 기호를 사용했고, 16세기의 비에트는 알려진 수와 미지수를 문자로 체계적으로 나타냈습니다.

이후 데카르트의 저술을 거치며 미지수에는 \(x,y,z\), 알려진 수에는 \(a,b,c\)를 사용하는 관습이 널리 퍼졌습니다. 문자를 사용하면서 한 문제의 답을 넘어 여러 경우에 공통인 법칙을 표현하기 쉬워졌습니다.

분명하게 쓰는 것도 수학입니다

수학 기호는 짧지만, 누가 읽어도 같은 뜻이 되도록 써야 합니다. 특히 곱셈 기호를 생략한 식과 나눗셈이 함께 있을 때에는 분수선이나 괄호로 계산 범위를 분명히 나타내는 것이 좋습니다.

\(6\div 2(1+2)\)처럼 오해하기 쉬운 표기는 피합니다.
\(\dfrac{6}{2(1+2)}\) 또는 \(\dfrac{6}{2}(1+2)\)처럼 의도를 분명히 써야 합니다.